· COURS DU PREMIER SEMESTRE (S9)

· COURS DU DEUXIEME SEMESTRE (S10)

Ce cours propose une initiation à l'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires elliptiques en utilisant les outils de la théorie du degré (Brouwer, Leray-Schauder) et l'étude des points critiques de fonctionnelles (minimisation de fonctionnelles convexes, théorème du col). Chaque partie du cours sera illustrée par des applications concrètes à des EDP.

Prérequis :

Cours d'analyse fonctionnelle, cours d'EDP.

Bibliographie :

S. Kesavan: ``Nonlinear functional analysis. A first course''. Text and readings in mathematics, 28, Hindustan Book agency,(2004).

O. Kavian: ``Introduction à la théorie des points critiques et applications aux problèmes elliptiques''. Mathématiques et Applications, 13, Springer-Verlag, (1993).

J. T. Schwartz: ``Nonlinear functional analysis'' New York Gordon and Breach, (1969).

Description du cours :

Ce cours est consacré à l'étude des équations elliptiques linéaires du second ordre. Il est divisé en deux parties. Dans la permière partie nous démontrons l'existence et l'unicité des solutions classiques pour le problème de Dirichlet. Nous utilisons une méthode de type Schauder. Elle est essentiellement fondée sur l'utilisation de semi-normes équivalentes sur les espaces de Hölder, le principe du maximum et la régularité intérieure des fonctions harmoniques. Quant à la seconde partie, elle dédiée aux solutions faibles. Nous donnons d'abord un résultat général d'existence de solutions faibles pour le problème de Dirichlet. Ce résultat s'obtient par des arguments classiques qui utilisent une formulation variationnelle, le théorème de Lax-Milgram et l'alternative de Fredholm. Ensuite, après avoir examiné la régularité des solutions faibles, nous donnons des inégalités de Harnack. Ces inégalités nous permettent, par exemple, de démontrer que les solutions faibles sont localement hölderiennes.

Prérequis : Topologie, analyse et integration de niveau licence de mathématiques. Un minimum sur les espaces de Sobolev (mais ce n'est pas vraiment essentiel).

Bibliographie :

[1] M. Choulli, quelques outils pour les équations elliptiques et paraboliques, et applications, livre soumis.

[2] Ph. Bénilan, Opérateur de Laplace, dans ''Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques'', R. Dautray et J.- L. Lions (ed), Vol. 2, Masson, Paris, 1987.

[3] D. Gilbarg and N.S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983.

[4] J.- L. Lions and E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications, Vol I, Dunod, Paris, 1968.

[5] M. V. Safonov, Linear elliptic equations of second order, cours de 3 ème cycle donné à l'Université du Minnesota, 2002-03.

Description du cours : Ce cours donne un complément de formation générale en géométrie: et des applications à la physique mathématique. Le plan du cours est le suivant:

1. Rappels sur les groupes de Lie
2. Introduction aux fibrés vectoriels, aux fibrés principaux et à la théorie des connections. Equations de la théorie de jauge
3. Rappels de géométrie riemannienne. Equations d'Einstein.
4. Introduction à la géométrie symplectique.
5. Introduction a la geometrie complexe. Espaces de twisteurs.

Prérequis :

Cours de géométrie différentielle.

Description du cours : Le cours est une introduction à la théorie des groupes compacts et leurs représentations. Il consiste de deux parties, dont la première peut être validée comme un demi-cours.

• Généralités sur les représentations des groupes : représentations équivalents, irréductibles, unitaires. Sommes directes et produits tensoriels. Réduction. Lemme de Schur.
• Groupes compacts et leurs représentations : Mesure de Haar. Représentations de dimension finie ; caractères ; relations d'orthogonalité. Théorème de Peter-Weyl. Analyse de Fourier sur les groupes compacts ; théorème de Plancherel.

Deuxième partie (20 heures) :

• Structure des groupes de Lie compacts : tores maximaux et le groupe de Weyl, racines et poids. Formule de Weyl.
• Représentations au plus haut poids des groupes de Lie compacts semisimples ; le théorème du plus haut poids.

Prérequis : Quelques notions de géométrie differentielle et d'analyse fonctionelle.

Bibliographie :

T. Bröcker et T. tom Dieck : Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985.

A.W. Knapp : Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.

B. Simon :Representations of finite and compact groups. Graduate Studies in Mathematics, 10. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

V.S. Varadarajan : Lie groups, Lie algebras, and their representations. Graduate Texts in Mathematics, 102. Springer-Verlag, New York, 1984.

Ce cours aborde la nouvelle notion de localité en GNC et aura pour objectif final d'expliquer le fameux théorème de Connes-Moscovici pour les opérateurs de Dirac transverses. Chemin faisant, nous aborderons beaucoup de concepts importants en géométrie, topologie et analyse. Le contenu du cours sera comme suit:

1. Classes d'opérateurs infinitésimaux.
2. Indice des opérateurs de Fredholm et formule de Calderon.
3. Un précis de cohomologie cyclique.
4. Exemple de théorèmes d'intégralité non commutatifs: L'effet Hall quantique.
5. Eléments de Géométrie Riemannienne Non Commutative. Illustration de la formule géodésique de Connes sur des exemples de fractales.
6. Notion de caractère de Chern-Connes de triplets spectraux.
7. Notion de localité et et trace de Dixmier.
8. Enoncé du théorème de l'indice local et de quelques conséquences.

Prérequis :

Bibliographie :

Livre de A. Connes: ''Noncommutative differential geometry''.

Articles de A. Connes et H. Moscovici dont principalement les suivants:
''The local index formula in noncommutative geometry.'' Geom. Funct. Anal. 5 (1995), no. 2, 174--243.
''Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem.'' Comm. Math. Phys. 198 (1998), no. 1, 199--246.

But du cours :

On présente une classe de problèmes à frontière libre issue de la modélisation de certains phénomènes mécaniques (optimisation de structures, propagation de fissures).

Contenu du cours :

1. Etude de quelques notions approfondies sur les espaces de Sobolev (capacité, quasi-continuité, théeorème de Hedberg). Des application seront données pour l'étude de la régularité des solutions des EDPs elliptiques dans des domaines peu réguliers.
2. Etude de la $\Gamma$-convergence et application aux problèmes de minimisation. Relaxation. Application à l'étude de la stabilité des solution des EDPs elliptiques pour des perturbations non régulières du domaine géométrique et à l'optimisation des formes.
3. Etude des modèles variationnels de propagation de fissures et décollement de membranes. Mouvement de type énergétique de la frontière libre. Problèmes inverses. Applications.

Prérequis :

Les cours de maitrise d'analyse fonctionnelle, edp's et analyse numérique.

Bibliographie :

[1] D. Bucur, G. Buttazzo Variational methods in some shape optimization problems. Appunti dei Corsi Tenuti da Docenti della Scuola. Scuola Normale Superiore, Pisa, 2002.

[2] A. Henrot, M. Pierre Variation et optimisation de forme, SMAI 2005.

Description du cours :

Détermination de l'espace dual des groupes de Lie résolubles exponentiels à l'aide de la théorie des orbites de Kirillov.

Contenu du cours :

Représentations induites des groupes localement compacts. Théorie du "petit groupe" de Mackey et théorème d'imprimitivité.

Structures des algèbres et groupes de Lie nilpotents et résolubles exponentiels.

L'espace des orbites coadjointes.

L'espace dual d'un groupe localement compact.

Polarisations et représentations monomiales.

Description de l'espace dual d'un groupe exponentiel à l'aide des orbites coadjointes: Le théorème de Kirillov-Bernat-Vergne-Pukanszky.

Applications: Désintégration de certaines représentations unitaires en irréductibles

Prérequis :

Théorie générale des groupes de Lie. Théorie générale des représentations des groupes.

Bibliographie :

Pukanszky, L. Leçons sur les représentatations des groupes, Paris: Dunod 1967.

Bernat, P.; Conze, N.; Duflo, M.; Levy-Nahas, M.; Rais, M.; Renouard, P.; Vergne, M. Représentations des groupes de Lie résolubles. Monographies de la Sociéte Mathématique de France. 4. Paris: Dunod. X (1972).

Corwin,L. Greenleaf, G.P, Representations of nilpotent Lie groups and their applications. Part 1: Basic theory and examples. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 18. Cambridge University Press (1990).

H. Leptin-J. Ludwig, Unitary representation theory of exponential Lie groups. De Gruyter Expositions in Mathematics. 18. (1994). Berlin

Description du cours : Le but de ce cours est d'introduire aux actions symplectiques des groupes de Lie et la quantification géométrique équivariante.

Contenu approximatif:

1. Variétés symplectiques et complexes
2. Groupes de Lie et actions différentiables
3. Actions symplectiques et l'application moment
4. Orbites coadjointes
5. Reduction symplectique
6. Fibrés en droites complexes
7. Préquantification à la Weil et Kostant
8. Polarisations et structures metaplectiques
9. Quantification géométrique

Prérequis :

Connaissance des bases du calcul différentiel et intégral sur des variétés différentiables.

Bibliographie :

R.Bryant: An introduction to Lie groups and symplectic geometry. In: D. Freed et al. (Editors), Geometry and quantum field theory; AMS, Providence RI 1995.

A. Cannas da Silva: Lectures on symplectic geometry

V.Guillemin, S.Sternberg: Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.

A.A. Kirillov, Geometric quantization. In: Dynamical systems. IV. Symplectic geometry and its applications, Eds. V.I. Arnol'd and S.P. Novikov, 137-172, Encycl. Math. Sci. 4, Springer, Berlin, 1990.

B. Kostant, Quantization and unitary representations I: Prequantization. In: Lectures in Modern Analysis and Applications III, Lect. Notes Math. 170, 87-207, Springer, Berlin, 1970.

R. Sjamaar, E. Lerman: Stratified symplectic spaces and reduction, Ann. of Math. (2) 134 (1991), no. 2, 375-422.

J. Sniatycki: Geometric quantization and quantum mechanics, Springer, Berlin 1987.

J.-M. Souriau, Quantification géométrique, Comm. Math. Phys. 1 (1966), 374-398.

N.M.J. Woodhouse: Geometric quantization, Oxford University Press, Oxford, 1992.

T. Wurzbacher: Introduction to differentiable manifolds and symplectic differential geometry, Prépublication 2000, http://www-irma.u-strasbg.fr/~wurzbach/teaching

Les formulaires d'admission sont aussi disponibles aupres de la :