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MASTER
MATHEMATIQUES DE METZ
PREMIERE
ANNEE
2008-2009
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Télécharger la fiche d'inscription
pédagogique du S7
et du S8
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Cours 2008-2009
PREMIERE SEMESTRE (S7)
Nombre total de crédits ECTS à valider : 30
Quatre cours obligatoires à choisir parmi : (5
crédits ECTS par cours)
!! MF =
Mathématiques fondamentaux
MA= Mathématiques appliqués
AM = Applications des Mathématiques !!
(UE 7.5)
Deux cours optionnels à choisir dans la liste suivante:
(5 crédits par cours)
7.7-
Module M1-7 (24hCM, 24hTD)
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MF
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Groupes
et géométrie |
Pasquale, Benayadi,Mehdi
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7.6-
Module M1-9 (24hCM, 24hTD)
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MF
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Algèbre |
Ludwig, Bennis |
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7.8-
Module M1-14 (24hCM, 12hTD et 18hTP)
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AM
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Modélisation
et introduction à la programmation |
Croisille
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7.10- Module
M1-18 (18hCM, 15hTD, 15hTP)
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Informatique
de base |
Grange
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7.9-
Module M1-ECO2 (24hCM, 24hTD)
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AM
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Analyse
de données |
Casin
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7.11- Module
M1-SUPELEC1 (18hCM, 6hTD, 18hEL, 3hEE)
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AM
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Automatique |
Turelle
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DEUXIEME SEMESTRE (S8)
Nombre total de crédits ECTS à valider : 30 + Projet
Un cours obligatoire : (5 crédits ECTS)
UE 8.2
- 5 cours optionnels à choisir dans la liste suivante :
(5 crédits par cours, sauf M1-SUPELEC2 à 3 crédits
et M1-SUPELEC3 à 2 crédits)
AG = recommandé pour le parcours Agreg + Math
fondamentaux en M2,
AGA = recommandé pour le parcours Agreg + Math appliqués en M2,
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8.3- Module M1-5
(24hCM, 24hTD)
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MF
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AG
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Calcul
différentiel et intégral sur des
variétés |
Gutt, Garnier |
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8.4- Module M1-6
(24hCM, 24hTD)
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MF
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AG+AGA
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Algèbre
et arithmétique |
Mehdi, Flammang |
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8.6- Module M1-8
(24hCM, 24hTD)
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MF
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AG+AGA
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Analyse
harmonique |
Ludwig
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8.8- Module M1-10
(24hCM, 24hTD)
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MF
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AG+AGA
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Théorie
spectrale |
Benameur |
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8.9- Module M1-11
(24hCM, 24hTD)
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AM
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Introduction
à l'utilisation des logiciels de calcul formel |
n'ouvrira pas
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8.10- Module
M1-12 (24hCM, 24hTD)
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MA
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AG
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Optimisation
et applications |
Ye, Taous |
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8.11- Module
M1-13 (24hCM, 24hTD)
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MA
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AG
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Analyse
fonctionnelle appliquée |
n'ouvrira pas |
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8.5- Module M1-15
(24hCM, 24hTD)
|
MA
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AGA
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Méthodes
numériques |
n'ouvrira pas |
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8.12- Module
M1-16 (24hCM, 24hTD)
|
MA
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AGA
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Systèmes
dynamiques et contrôle |
Alabau |
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8.13- Module
M1-17 (24hCM, 24hTD)
|
MA
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AGA
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Introduction
à la statistique |
Bonneau, Breuils |
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8.18- Module
M1-21 (24hCM, 24hTD)
|
AM
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Modèles
probabilistes en finance |
Thalmaier, Selinger
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8.15- Module
M1-ECO1 (32hCM, 12hTD)
|
AM
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Econométrie
des séries temporelles |
Stachowiak |
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8.16a- Module
M1-SUPELEC2 (12hCM, 4hTD, 3hEE)
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AM
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Signal
et communication |
Gutzwiller
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8.16b- Module
M1-SUPELEC3 (12hCM)
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AM
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Communications
mobiles |
Refik/Scommazzon |
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8.17- Module
M1-SUPELEC4 (12hCM, 4hTD, 18hEL, 3hEE)
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AM
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Représentation
et Analyse statistique des signaux |
Barret |
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8.14- Projet
dans
une UE de mathématiques à choix (obligatoire ou option)
du M1.
A faire votre choix jusqu'au 1 mars 2009.
Programme des cours 2008-2009
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-1:
Analyse fonctionnelle
Ce cours présente les bases de l'analyse fonctionnelle,
indispensables en mathématiques fondamentales,
mathématiques appliquées et pour de très diverses
applications des mathématiques.
1. Notions de topologie générale
Topologie. Compacité. Connexité.
2. Espaces de Banach et de Hilbert
Définitions et propriétés
élémentaires.
Théorème de Riesz. Espaces Lp et lp, espaces
des fonctions continues, espaces de Sobolev. Opérateurs
linéaires continus.
3. Projections
Projection sur un convexe fermé. Compléments
fermés. Espaces quotients. Bases orthonormales, exemples.
4. Fonctionnelles linéaires
Dual d'un espace de Hilbert. Théorème de Hahn - Banach.
Espaces réflexifs, duaux de Lp. Topologie faible,
théorème de Banach - Alaoglu.
5. Principe d'équicontinuité
Théorème de Baire. Principe
d'équicontinuité.
Théorème de Banach - Steinhaus. Théorème de
l'application ouverte et
conséquences.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module
M1-2: Géométrie
différentielle élémentaire
Ce cours applique le calcul différentiel et
intégral à la géométrie dans le
plan, l'espace et dans IRn en introduisant d'abord les objets
classiques: courbes et surfaces. Il sert aussi bien en
mathématiques fondamentales qu'en mathématiques
appliquées (et en modélisation). Les
démonstrations des théorèmes intégraux sont
en partie esquissées.
1. Courbes et surfaces
Courbes dans IRn, exemples. Longueur, paramétrisations,
courbure. Courbes dans le plan, résultats locaux et globaux.
Surfaces régulières dans l'espace, cartes. Plan tangent.
Première et deuxième forme fondamentale, normale.
Courbure, exemples.
2. Sous-variétés dans IRn
Hypersurfaces et sous-variétés dans IRn,
application et version géométrique du
théorème des fonctions implicites. Fibré tangent.
Exemples. Géométrie riemannienne des
sous-variétés.
3. Calcul intégral classique sur des sous-variétés
Orientation, forme volume, intégration des formes et des
fonctions. Gradient, rotation et divergence. Théorèmes
intégraux classiques : Green-Riemann dans le plan, Stokes
dans l'espace, et Gauss dans l'espace et dans IRn. Applications au
calcul des volumes.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-3: Introduction aux équations aux
dérivées partielles
Ce cours est une introduction à quelques équations
aux dérivées partielles fondamentales. Ces
équations sont présentées et
étudiées avec un minimum de prérequis. On insiste
à la fois sur
l'aspect "représentation explicite des solutions" et sur
les aspects phénoménologiques. On se limitera au
problème de Cauchy pour simplifier
l'exposition des problèmes d'évolution.
1. Equation de transport
Méthode des caractéristiques. Exemples de
résolution d'une équation de transport dans le cas
à coefficients variables. Application à l'équation
des ondes 1d. Formule de d'Alembert. Cas inhomogène. Formule de
Duhamel.
2. Equation de Laplace
Solution fondamentale. Fonctions harmoniques. Principe du maximum.
Notion de potentiel de couche. Différents types de conditions
limite.
3. Equation de la chaleur
Noyau de la chaleur. Décroissance de l'énergie. Principe
du maximum. Notion de problèmes bien et mal posés.
4. Equation des ondes
Formule de Kirchhoff et de Poisson pour l'équation des ondes en
dimension 3 et 2.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-4: Probabilités
Ce cours donne les bases théoriques et des exemples pour
les méthodes probabilistes en
modélisation mathématique de phénomènes
divers. Ses buts sont plus précisement l'étude de
l'asymptotique
lors d'un grand nombre de répétitions d'une
expérience aléatoire, et une introduction aux processus
stochastiques.
1. Vecteurs aléatoires et théorèmes limite
Généralités. Vecteurs gaussiens. Lois des
grands nombres. Convergence en loi, fonctions caractéristiques.
Théorème de Paul Lévy. Théorème de
la limite centrale. Exemples et applications.
2. Processus stochastiques
Lois conditionnelles. Espérances conditionnelles.
Filtrations, temps d'arrêt. Martingales à temps discret.
Théorème de Doob, théorème de
décomposition, théorème de convergence dans L2.
Chaînes de
Markov (à espaces d'états finis ou dénombrable
et à temps discret): généralités,
propriétés élémentaires,
propriété de Markov forte, états récurrents
et transitoires, mesure invariante, marches aléatoires.
Applications.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-5:
Calcul différentiel et intégral sur des variétés
Ce cours introduit les outils de base en
géométrie différentielle des
variétés, indispensable dans beaucoup de domaines
mathématiques et en physique théorique. Il constitue
la suite et la généralisation naturelles du
cours "Géometrie différentielle
élémentaire".
1. Variétés différentielles
Cartes, atlas, applications lisses entre variétés,
sous-variétés. Exemples. Espaces tangents, fibrés
tangents.
2. Formes différentielles
Champs de tenseurs, formes différentielles, formes
d'orientation. Orientation. Dérivée extérieure.
Cohomologie de de Rham.
3. Intégration des formes
Intégrale d'une forme volume, propriétés
élémentaires. Théorème de Stokes, cas
particuliers et applications.
4. Champs de vecteurs
Flots, dérivée de Lie, formule magique
de Cartan. Théorème de Frobenius, applications.
Cours Master 1 - 2007/2008
Module M1-6: Algèbre
et artithmétique
Le but de ce cours est de fournir des méthodes et des
résultats algébriques
et analytiques utiles : extensions des corps et théorie de
Galois; resp. fonctions analytiques et méromorphes, et leurs
applications à la théorie de nombres.
1. Aspects algébriques
Extensions des corps algébriques et transcendantes. Corps
algébriquement clos. Corps de rupture et corps de
décomposition. Introduction à la théorie de
Galois. Corps finis, corps de nombres algébriques.
2. Méthodes analytiques
Fonctions holomorphes et méromorphes, et continuation
analytique. Fonctions gamma, beta, zeta. Séries de Dirichlet :
théorie générale et applications
arithmétiques.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-7:
Groupes et géométrie
Ce cours présente les groupes finis et leurs
représentations linéaires, ainsi que les groupes
matriciels classiques en soulignant leur occurrence dans
différents domaines de la géométrie.
1. Groupes finis
Actions des groupes. Groupes cycliques, symétriques,
alternés et diédraux. Théorèmes de Sylow et
groupes finis d'ordre bas. Représentations linéaires :
généralités, caractères, lemme de
Schur, représentations induites, critère de Mackey,
réciprocité de Frobenius, produit tensoriel des
représentations.
2. Groupes classiques
Formes bilinéaires symétriques, alternées et
hermitiennes. Formes non dégénérées.
Classification dans le cas réel et complexe. Groupe
général linéaire, groupe spécial
linéaire, groupe orthogonal, groupe unitaire, groupe
symplectique, groupe projectif et géométries
associées.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-8:
Analyse harmonique
Ce cours est principalement consacré à l'analyse
de Fourier de fonctions et distributions sur IRn. On traitera la
théorie générale ainsi que des applications aux
équations aux dérivées partielles
linéaires. Le cours aborde aussi la détermination
explicite des transformées de Fourier de nombreuses fonctions,
mesures et distributions.
1. Théorie des distributions
Les espaces D, et S et leurs topologies. Distributions, distributions
à support compact et distributions tempérées
: les espaces D', ' et S'. Dérivation et
convolution de distributions. Exemples de distributions: fonctions
localement
intégrables, mesures, valeurs principales, parties finies,
couches multiples.
2. Analyse de Fourier sur IRn
Transformation de Fourier dans L1 (IRn)et L2 (IRn). Transformation de
Laplace. Transformation de Fourier dans S et S'. Théorème
de Paley-Wiener. Solutions fondamentales des opérateurs
différentiels linéaires en plusieurs variables.
3. Calcul explicite des transformées de Fourier
Evaluation des intégrales à l'aide du
théorème des résidus. Détermination
explicite des transformées de Fourier et de Laplace de certaines
fonctions, mesures et distributions usuelles.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-9: Algèbre
Ce cours présente les outils fondamentaux de la
théorie des anneaux commutatifs et en particulier
l'algèbre des polynômes en plusieurs
indéterminées sur un corps. On applique ensuite ces
résultats en géométrie algébrique
élémentaire.
1. Notions et théorèmes fondamentaux
Anneaux noethériens. Anneaux de polynômes.
Théorème de la base de Hilbert. Anneaux factoriels
et théorème de Gauss. Modules sur un anneau. Modules
noethériens et structure d'un module sur un anneau principal.
2. Introduction à la géométrie algébrique
Théorème des zéros de Hilbert. Ensembles
algébriques. Topologie de Zariski. Variétés
irréductibles. Applications régulières. Exemples:
courbes algébriques planes, groupes
algébriques,
espaces projectifs.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-10: Théorie spectrale
Ce cours a pour objectif de donner une formation de base en
théorie spectrale. Les théorèmes
principaux seront illustrées par des exemples traités
en détail. L'accent est tout particulièrement mis
sur la décomposition spectrale pour les opérateurs
normaux compacts ainsi que sur le théorème de Gelfand et
le
calcul fonctionnel pour les opérateurs normaux. Les
prérequis
pour ce cours sont contenus dans le cours d'analyse fonctionnelle.
1. Opérateurs compacts
Diverses caractérisations et structures de l'ensemble des
opérateurs compacts. Exemples des opérateurs de
Hilbert Schmidt et des opérateurs à trace. Le cas des
opérateurs à noyaux. Le théorème de Lidskii.
2. Décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts
Valeurs spectrales non nulles et multiplicité finie.
Théorème de décomposition spectrale. Application
à l'alternative de Fredholm, aux opérateurs de Fredholm
et à leur indice.
3. Calcul fonctionnel continu
Notion de spectre et correspondance de Gelfand. Théorème
de Gelfand. Calcul fonctionnel continu pour les opérateurs
normaux. Exemples et applications.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-11: Introduction à l'utilisation de logiciels de calcul formel
L'objectif de ce cours est de donner une introduction aux
principaux éléments du
calcul formel et d'utiliser le logiciel Maple pour résoudre
des problèmes analytiques, géométriques et
algébriques.
Le cours est accompagné d'un projet personnel.
1. Présentation des logiciels
Calcul formel versus calcul numérique. Présentation
générale de logiciels différents de calcul
formel (Maple, Mathematica, Mupad, Lie).
2. Notions de base de calcul formel en Maple
Données et opérateurs, symboles et variables,
expressions, évaluations, simplifications, fonctions et
procédures, structures et opérations itératives,
conditionnement, programmation. Packages.
3. Mathématiques de base assistées par ordinateur
Polynômes et équations algébriques. Matrices et
outils d'algèbre linéaire. Notions fondamentales pour
tracer des courbes et des surfaces. Outils pour l'analyse:
dérivation et intégration formelle, résolution des
équations différentielles.
4. Projet personnel
Projet personnel pour la résolution d'un problème en
algèbre, équations différentielles,
géométrie différentielle, théorie des
nombres ou théorie des représentations.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-12:
Optimisation et applications
Ce cours donne un aperçu du matériel
classique des méthodes de l'optimisation. Un aperçu sur
les développements récents est envisageable : algorithmes
de points intérieurs, algorithmes génétiques.
1. Optimisation et convexité
Définition d'un problème d'optimisation. Exemples
provenant de la physique et de la géométrie.
Théorèmes généraux d'existence et
unicité du minimum d'une fonction convexe sur un ensemble
convexe. Exemples d'application en dimension finie et infinie.
Caractérisation des solutions, équations d'Euler.
2. Optimisation avec contraintes
Multiplicateurs de Lagrange, Lagrangien et points selles,
dualité.
3. Algorithmes itératifs
Méthode de gradient, gradient projeté, Gauss-Seidel,
Gradient conjugué, méthode d'Uzawa.
4. Programmation linéaire: méthode du simplexe
5. Optimisation globale
Algorithmes génétiques, algorithmes de points
intérieurs.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-13: Analyse fonctionnelle appliquée
Ce cours couvre les méthodes d'analyse fonctionnelle en
théorie des équations aux dérivées
partielles.
1. Espaces de Sobolev
Inégalités de Poincaré. Théorèmes de
trace. Prolongements.
2. Théorie elliptique
Lemme de Lax-Milgram, applications : laplacien, bilaplacien,
Elasticité, ... Théorèmes de
régularité elliptique.
3. Opérateurs compacts
Théorème spectral. Théorie de Riesz-Fredholm.
Quotient de Rayleigh, théorème de Courant-Fischer.
Applications aux e.d.p.: Equation de Helmholtz, résolution de
problème d'évolution par méthode spectrale.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-14: Modélisation et introduction à
la programmation
Le but de ce cours est de donner les bases du calcul
numérique à partir d'exemples. Il intéresse
à la fois les étudiants se destinant à un parcours
recherche et ceux envisageant un parcours professionnel. Le programme
de ce cours est en partie inspiré par celui de
l'agrégation de mathématiques. Il comporte une
introduction à matlab (ou scilab).
1. Interpolation polynômiale
Interpolation des courbes et des surfaces. Interpolation spline.
Exemples. Moindres carrés.
2. Schémas en temps pour les équations
différentielles ordinaires
Méthodes d'Euler, de Runge-Kutta. Portraits de
phase, illustration numérique de la stabilité.
Fonctions de Lyapounov.
3. Algorithmes itératifs
Méthodes de Gauss-Seidel linéaire ou non. Recherche d'un
optimum. Calcul approché de valeurs
propres. Méthode de Newton.
4. Transformée de Fourier
Exemples d'utilisation de la FFT.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-15:
Méthodes numériques
Ce cours présente différentes méthodes
classiques d'approximation des équations aux
dérivées partielles:
méthode des différences finies, méthode des
éléments finis, méthode spectrale. Le but du
cours est de donner un aperçu sur plusieurs méthodes et
de montrer les points communs entre les différentes
méthodes.
1. Méthode des différences finies
Notion de schémas aux différences. Construction
d'opérateurs aux différences. Consistance,
stabilité,
convergence. Théorème de stabilité de von Neumann.
Théorème d'équivalence de Lax-Richtmeyer. Exemples
de schémas pour l'équation de convection: schéma
décentré, schéma de Lax-Friedrichs, schéma
de Lax - Wendroff.
2. Méthode des éléments finis
Notion de maillage éléments finis. Discrétisation
d'une forme variationnelle. Exemples en dimension 1. Exemples
d'éléments finis classiques en dimension 1. Notion de
consistance, stabilité, convergence. Estimation d'erreur a
priori et a posteriori en dimension 1.
3. Méthodes spectrales
Espaces de polynômes, interpolation polynômiale, exemples:
polynômes orthogonaux classiques: Legendre, Tchebycheff.
Approximation de l'équation de Laplace par méthode
spectrale
en dimension 1. Théorème de convergence.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-16 :
Systèmes dynamiques et contrôle
Ce cours est une introduction à la théorie
classique des systèmes dynamiques en dimension finie et à
leur contrôle.
1. Systèmes dynamiques
Existence et unicité des solutions d'une équation
différentielle, continuité par rapport aux conditions
initiales, linéarisation, stabilité, théorie
de Lyapunov, principe de Lasalle, fonctions semi-définies
positives.
2. Contrôle des systèmes dynamiques
Etude qualitative des systèmes dynamiques,
contrôlabilité, réalisation, méthode de
stabilisation asymptotique d'un système avec contrôle,
théorie des observateurs, observabilité, conception
d'observateurs.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-17 :
Introduction à la statistique
Ce cours introduit les notions classiques en statistique, et
traite des exemples d'applications. Il est envisageable de le
compléter par le cours de probabilités en vue de
l'obtention d'une formation stochastique plus approfondie.
1. Compléments de probabilités
Vecteurs aléatoires gaussiens. Lois de probabilités
continues habituelles en statistique. Théorème de
Karl Pearlson.
2. Bases de statistique
Données, statistique descriptive, modèle statistique,
échantillon et échantillonage.
3. Estimation des paramètres
Estimateur et estimation ponctuelle, estimateur de maximum de
vraisemblance. Estimation ensembliste, intervalle de confiance. Cas
gaussien et binomial. Modèles statistiques exponentiels.
4. Tests des hypothèses
Hypothèses, risques, niveau, région critique,
décisions statistiques. Puissance, tests UPP.
Théorème
de Neyman-Pearson. Cas gaussien et binomial (tests exacts et tests
approximatifs). Introduction aux tests d'adéquation et tests
à deux échantillons.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-18 :
Informatique de base
Cet enseignement est orienté vers l'utilisation quotidienne
de l'ordinateur et d'internet par des scientifiques non
informaticiens. Il entend démystifier, par la pratique,
quelques outils extrêmement puissants, mais peu connus du
public non spécialiste:
- production de documents scientifiques de qualité (LaTeX)
- typographie et conseils de rédaction
- utilisation d'un éditeur de texte
- dessin automatique de graphes (GraphViz)
- structuration et interrogation d'une base de données
relationnelle (MySQL)
- découverte d'un langage de programmation à typage
dynamique (Python)
- commandes Unix élémentaires
- social bookmarking (del.icio.us)
- lecture de flux RSS (Google Reader)
- fonctionnement d'un groupe de travail sur internet (Google
Groups beta)
- publication et élaboration de documents bureautiques en
ligne (Google Docs & Spreadsheets)
- initiation à la structuration d'un programme de taille
réelle
- notions de TDD (Test Driven Development)
La fin du module est consacrée à un important projet de
synthèse. Au cours des séances, les
étudiants collaborent à l'écriture d'un
programme Python qui interroge une base de données MySQL sur
les formats de fichiers, et qui génère à
partir de celle-ci un document LaTeX de près de cent
pages, illustré de figures, d'historiques, de listings et
de graphes Graphviz.
D'un point de vue méthodologique, le travail collaboratif est
à l'honneur tout au long du module. Plus en phase avec le
monde professionnel, tout à fait naturel au temps
d'internet, ce parti-pris permet également d'aborder des
problèmes plus réalistes et plus
intéressants que les exercices «individualistes»
classiques.
Tous les logiciels et environnements mis en œuvre sont libres,
gratuits et multi-plateformes. Le contenu de l'enseignement est
susceptible de varier d'une année à l'autre en fonction
de l'actualité.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-19: Module de langue vivante
étrangère à utilisation scientifique
Le but de ce module de 24 heures cours magistraux et de 36 heures
travaux pratiques est d'introduire les étudiants à
l'utilisation d'une langue étrangère vivante dans le
domaine scientifique.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-20:
Recherche opérationnelle
1. Éléments de la théorie des graphes et
d'optimisation combinatoire :
parcours des graphes, flots et circulations, couplages, chemins
optimaux,
applications à la recherche opérationnelle,
problèmes de flots et
d'affectation, problèmes de transport.
2. Introduction aux processus stochastiques de décision :
processus
stochastiques et programmation dynamique stochastique, applications
à la
gestion des stocks. Chaînes de Markov finies à temps
discret et continu.
Processus de Markov et applications. Ergodicité.
3. Éléments de théorie de la fiabilité :
données discrètes et courbes de
survie expérimentale, forme analytique de la loi de survie,
probabilité de consommation, fiabilité des
systèmes, sûreté de fonctionnement et
stratégie de remplacement.
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-21 :
Modèles probabilistes en finance
But du cours : Fournir les techniques probabilistes
nécessaires à la
compréhension des modèles financiers les plus courants.
Les modèles
financiers exposés dans ce cours sont utilisés par de
nombreux
établissements financiers.
Plan du cours :
- Compléments sur les processus stochastiques et les martingales
- Les actifs financiers
- Stratégies et arbitrages
- Marches complets
- Options européens et américaines
- Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein
- Le modèle de Black et Scholes
- Modeles d'actifs avec sauts
- Pricing
- Simulations et algorithmes pour les problèmes financiers.
Prerequis : UE M1-4 Probabilités
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-ECO1:
Econométrie des séries temporelles
Processus aléatoires stationnaires et non stationnaires
Analyse spectrale et co-spectrale
Analyse multivariée
Econométrie des Anticipations Rationnelles
Modèles ECM et Cointégration
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M2-ECO:
Analyse
de données
Mesure de la liaison entre une variable et un ensemble de variables
Analyse en composantes principales
Analyse canonique
Analyse factorielle des correspondances
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-SE1: Automatique
L'automatique est avant tout l'art de modéliser d'analyser, puis
de commander les systèmes. C'est aussi celui de traiter
l'information et de prendre des décisions. Ses domaines
d'application sont aussi nombreux que variés : mécanique,
électromécanique, électronique, thermodynamique,
agro-alimentaire, biotechnologies, transports, aéronautique,
spatial, industries de transformation, économie, ...
C'est pourquoi l'étude de l'automatique est essentielle à
la formation d'un ingénieur de haut niveau.
L'objectif de ce cours est d'en donner les bases indispensables, en
mettant l'accent sur la commande de système linéaire. La
synthèse des lois de commande de base y est
développée tant en analogique qu'en numérique,
tant sous forme polynomiale que sous forme d'état.
Introduction - Aspects généraux
Définitions - Domaines d'application - Bref historique
- Buts et raisons - Classification des systèmes automatiques -
Régulation et asservissement - Structure d'un
système
asservi continu ou discret - Système piloté par
calculateur
- Concepts utiles : dynamique de poursuite et de régulation.
Analyse en boucle fermée
Intérêt du bouclage - Relations BO/BF (fonctions
de transfert, réponse harmonique, abaque de Black-Nichols) -
Stabilité en BF : Critère de Nyquist - Marges de
stabilité
(gain, phase, module, retard, cas continu et cas discret) - Robustesse
et sensibilité - Relations entre les comportements
fréquentiel
(en boucle ouverte) et temporel (en boucle fermée) -
Précision
statique - Précision dynamique : Méthode de la
sinusoïde
équivalente.
Commande fréquentielle
Corrections par anticipation : vis à vis de l'entrée, vis
à vis des perturbations - Correction série : Avance de
phase, Retard de phase, Actions combinées - Correction
parallèle : Généralités, Corrections
tachymétriques.
Régulation
Régulation et régulateurs P.I. et P.I.D. -
Transformations conformes - Régulateur numérique.
Commande modale
Représentation d'état continue et discrète
(rappels) - Commandabilité - Observabilité -
Décomposition canonique - Commande modale et placement de
pôles.
Bibliographie :
K. Ogata, « Modern Control Engineering », 4e
éd., Ed. Pearson Education International, 2002
G.F. Franklin, J.D. Powell, A. Emami-Naeini, « Feedback
Control of Dynamic Systems », 3° ed., Ed. Addison-Wesley
Publishing Company, 1994
P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, I. Zambettakis,
« Automatique. Analyse et régulation des processus
industriels -Tome 1 - Régulation continue », Ed.
Technip, 1993.
E. Boillot, « Asservissements et régulation
continus - Analyse et synthèse (problèmes avec
solutions) », Ed. Technip, 2000
J.J. D’Azzo et C.H. Houpis, « Linear Control System Analysis
and Design », 3e éd., Ed. Mac Graw-Hill, 1988
Ph. de Larminat , Y. Thomas, « Automatique des
systèmes linéaires - Tome 3 Commande », Ed.
Flammarion sciences,1977
Cours Master 1 - 2007/2008
Module M1-SE2:
Signal et communication
L’objectif de ce cours est de présenter les outils de
traitement du signal et de l’information utilisés pour concevoir
une chaîne de communication ou en évaluer les
performances.
Information et codage
Mesure de l’information, incrément d’information. Entropie d’une
source discrète. Capacité d’un canal. Codage de
source : algorithme de Huffman pour le codage d’une source
discrète.
Codage canal : introduction au codage en bloc et au codage
convolutif,
évaluation de performances.
Procédés de transmission
Chaîne de transmission, supports de transmission. Modulations.
Critères et méthodes d’estimation et de détection
en réception : application à un canal à bruit
blanc additif gaussien sans distorsion.
Analyse des signaux et codage de source
Liens entre représentation des signaux et codage. Espace des
amplitudes (codage à seuils non linéaires, distorsion),
cas de la parole. Représentation paramétrique,
application au codage de parole LPC (modèle de production
seulement). Représentation en ondelettes, application au codage
des images.
Bibliographie :
G. Battail, « Théorie de l'information. Application
aux techniques de communication », Ed. Masson, 1997
W. Peterson, E. Weldon, « Error-correcting
codes », Ed. MIT Press, 1972
S. Lin, D. Costello, « Error control coding: Fundamentals
and Applications », Ed. Prentice-Hall 1983
G. Cohen, J-L. Dornstetter, P. Godlewski , « Codes
correcteurs d'erreurs », Ed. Masson, 1992
J. Proakis, « Digital communications »,
4e éd., Ed. McGraw-Hill, 2001
J-C. Bic, D. Duponteil, J.C. Imbeaux,
« Éléments de communications
numériques », Ed. Dunod, 1986
R. Boite, M. Kunt, « Traitement de la parole.
Presses », Ed. Polytechniques et Universitaires Romandes,
1987
J. Deller, J. Hansen, J. Proakis, « Discrete Time Processing
of Speech Signals », Ed. IEEE Press, 1999
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-SE3: Communications mobiles
Le domaine des communications numériques avec les mobiles
connaît ces dernières années un essor
considérable concrétisé par l’apparition des
nouveaux services tels
que la radiotéléphonie mobile, la diffusion de
données, la radiolocalisation, voire la radio et la
télédiffusion numérique portable ou mobile. Ces
nouveaux services utilisent
les techniques de transmission ou de diffusion numériques dans
un environnement radio cellulaire. L’objet de ce cours est de
sensibiliser
le public aux différentes techniques de base mises en œuvre.
Introduction aux techniques de modulations
Modulations analogiques : modulation d'amplitude, modulation de phase
et modulation de fréquence.
Enveloppe complexe d'un signal modulé : transformée de
Hilbert, signal analytique, enveloppe complexe, signal réel,
interprétation de l'enveloppe complexe.
Modulations numériques : Modulation par Déplacement
d’Amplitude (MDA 2n), Modulation par Déplacement d’Amplitude en
Quadrature (MDAQ 22n), Modulation par Déplacement de Phase (MDP
2n), modulation MSK, GMSK (Minimum Shift Keying, Gaussian Minimum Shift
Keying), occupation spectrale, Interférence Entre Symboles
(IES), critère de Nyquist, réception en présence
du BABG, détection cohérente, non cohérente,
synchronisation.
Choix d'une modulation numérique : efficacité spectrale,
performances en présence du BABG, d’IES, d'interférence
co-canal, canal adjacent, résistance aux
non-linéarités.
Canal radiomobile
Environnement d'un récepteur mobile, notion de trajets
multiples, étalement des retards, étalement Doppler,
temps de cohérence du canal, bande de cohérence du canal,
évanouissement
de Rayleigh, évanouissement de Rice.
Égalisation adaptative
Filtres numériques transversaux, filtres adaptatifs,
optimisation des coefficients d'un filtre adaptatif, fonction
coût, erreur
d'estimation, critère EQM, égaliseurs linéaires,
égaliseurs non linéaires, critère EQMM, algorithme
du Gradient LMS, algorithme RLS, Estimateur de la Séquence
à
Vraisemblance Maximale (ESVM).
Technique d’étalement de spectre, application en
radiocommunication mobile
Étalement de spectre par séquence directe, par saut de
fréquence, séquences d’étalement, techniques de
synchronisation, propriétés, le canal radiomoble,
techniques de diversités, récepteur de Rake, Accès
Multiple à Répartition par Codes (AMRC),
interférence multiutilisateurs, le problème “
près-loin ”.
Modulation multiporteuse
Multiplexage fréquentiel sur des porteuses orthogonales
(OFDM), intervalle de garde, modulation et démodulation par TFD,
codage et entrelacement temps-fréquence, application à
la radiodiffusion et télédiffusion numérique de
terre (DAB, DVB-T).
Cours Master 1 - 2008/2009
Module M1-SE4: Représentation et analyse statistiques des signaux
Après l'étude en première année des bases
de la théorie des probabilités et des variables
aléatoires, ce cours a pour but d'introduire la
modélisation statistique
des signaux porteurs d'information à transmettre ou
représentant des bruits parasites. Le cours est essentiellement
consacré aux propriétés du second ordre qui sont
généralement décrites par la fonction de
corrélation ou la densité spectrale. Les principaux
modèles statistiques de signaux sont
étudiés, l’utilité des diverses
caractérisations
est montrée ainsi que les moyens de la détermination
effective
des paramètres de ces caractérisations. La
détermination
des caractéristiques de certaines opérations
fondamentales
telles que numérisation (échantillonnage et
quantification) ou les modulations sont présentées.
Exemples de domaines nécessitant une modélisation
statistique des signaux, classes principales d’objectifs
Domaines : Physique statistique, communications, automatique et
commande, météorologie, démographie, biologie,
économie, astronomie, acoustique… Classes d’objectifs :
extraction d’information (estimation de paramètres à
partir d’observations temporelles, caractérisation statistique
des performances atteintes), extrapolation (prédiction),
filtrage.
Description statistique des signaux
Observations et réalisations d’une fonction aléatoire,
espace des échantillons. Définition d’un signal
(aléatoire) réel par variables aléatoires :
loi temporelle et
valeurs moyennes. Utilités (liens avec les objectifs) des
représentations du second ordre : moyenne et covariance
statistique. Introduction de la notion d’ergodisme, utilité de
modèles stationnaires, les différents types de
stationnarité. Signaux aléatoires du second ordre,
propriétés des fonctions de covariance et de
corrélation, notion de puissance. Généralisation
des concepts : signaux aléatoires vectoriels complexes.
Analyse des signaux aléatoires du second ordre : notion
de limite, de continuité, de dérivabilité et
d’intégrabilité en moyenne quadratique.
Propriétés spectrales
Représentation harmonique des signaux, théorème de
Bochner. Cas des signaux stationnaires du second ordre,
théorème de Wiener-Khinchin, densité spectrale de
puissance. Filtrage des signaux du second ordre et
représentation harmonique, formule
généralisée des interférences. Cas des
signaux stationnaires du second ordre : filtrage et densité
spectrale de puissance. Ergodisme et filtrage. Relations du filtrage
dans le domaine des z, dans le domaine des p,
factorisation spectrale. Matrice spectrale. Echantillonnage des signaux
aléatoires, théorème de Shannon.
Représentation
des signaux à bande étroite. Modulations par des signaux
aléatoires stationnaires. Estimation de la fonction de
corrélation.
Modèles statistiques de signaux exposés au long du cours
comme illustration
Processus de Poisson (signaux associés). Bruit blancs à
temps discret, à temps continu (bruits blancs et systèmes
linéaires). Signaux gaussiens et signaux gaussiens à
bande étroite. Processus de Markov. Représentation
paramétrique des signaux (juste la modélisation
source-filtre ARMA). Promenades aléatoires et mouvement brownien
(signification physique). Bruit de quantification.
Bibliographie :
W.B. Davenport, W.L. Root, An Introduction to the Theory of Random
Signals and Noise; Wiley-IEEE Press; (December 1987).
A. Papoulis, S. Unnikrishna, Probability, Random Variables and
Stochastic Processes (with Errata Sheet), McGraw-Hill
Science/Engineering/Math;
4th edition (December 14, 2001).
B. Picinbono, Signaux aléatoires, tome 2 : Fonctions
aléatoires et modèles, Ed. Dunod Université,
(1993).
T. Chonavel, S. Vaton, Statistical Signal Processing: Modeling
and Estimation; Springer Verlag; Book and CD-ROM edition (December 15,
2001).
Emploi du temps et calendriers
2008-2009
La réunion de la rentrée du Master de
Mathématiques, première année,
aura lieu le
mardi 09 septembre 2008 à 10.30h,
amphi Poncelet, bâtiment des Sciences.
Le début des cours est fixé au mercredi 10 septembre 2008.
Inscription 2008-2009
Les demandes d'inscription en première année du Master
Mathématiques de Metz pour l'année academique 2008/2009
doivent être effectuées exclusivement sur le site web de
l'UFR MIM (Mathématiques, Informatique, Mécanique)
http://www.mim.univ-metz.fr
puis cliquer
ADMISSION ANNEE 2008/2009
Scolarité UFR MIM
Ile du Saulcy
Université Paul-Verlaine Metz
F-57045 Metz
FRANCE |
scolmim@sciences.univ-metz.fr
Contacts
Responsables du Master, première année :
Raymond Mortini
mél :
mortini_at_math.univ-metz.fr
Sécretariat du Master Mathématiques:
Sedat YAMANER
Secrétariat du Master Mathématiques et Applications
Université de Metz
Bâtiment A, Ile du Saulcy
F-57045 Metz cedex 1
FRANCE
Tél : 03 87 31 52 71
Fax : 03 87 31 52 73
mél :
sedat@math.univ-metz.fr