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  MASTER MATHEMATIQUES DE METZ   

 SPECIALITE RECHERCHE 

  DEUXIEME ANNEE  

2007-2008

 
 

 

 
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Présentation
Programme des cours 2007-2008
Calendrier et emploi du temps 2007-2008
Modalités de la scolarité
Admission 2007-2008
Contacts
Vie étudiante
Laboratoires porteurs de la Spécialité Recherche à Metz et au Luxembourg :
Laboratoire Mathématiques et Applications de Metz (LMAM) - U.M.R. 7122 C.N.R.S. et Université de Metz
Equipe Systèmes de Traitement des Signaux de Supélec, campus de Metz
Laboratoire de Mathématiques - Université de Luxembourg
Laboratoire partenaire (et porteur de la Spécialité Recherche Mathématiques à Nancy):
Institut E. Cartan - U.M.R. 7502 C.N.R.S. et Université Nancy I


  

Programme des cours 2007-2008

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· COURS DE MISE A NIVEAU

Géométrie différentielle
Analyse fonctionnelle appliquée aux EDP

· COURS DU PREMIER SEMESTRE (S9)

T. WURZBACHER :   Groupes de Lie compacts et leurs représentations   (UE 9.1)
M. BENAMEUR :   Introduction aux techniques l2 en géométrie non commutative   (UE 9.2)
R. MORTINI :   Analyse avancée   (UE 9.4)
R. CHILL :   Quelques méthodes de résolution pour les équations non-linéaires   (UE 9.5)
J.-P. CROISILLE :   Modèles mathématiques de la mécanique des fluides: théorie et méthodes numériques   (UE 9.6)
M. BARRET :   Traitement statistique du signal   (UE-SUP1, Supélec, Campus de Metz)

· COURS DU DEUXIEME SEMESTRE (S10)

J.-L. TU :   Algèbres d'opérateurs et géométrie non commutative   (UE 9.3)
S. BENAYADI         et M. OLBRICH :   Quelques aspects de la théorie des représentations d'algèbres et groupes de Lie   (UE 10.1)
Z. BELHACHMI       et A. GUESMIA :   Contrôle non destructif. Semigroupes et stabilisation des EDP   (UE 10.3)
P. TURELLE :   Méthodes et algorithmes de traitement numérique des signaux   (UE-SUP2, Supélec, Campus de Metz)

Le LIEN vers la page web des cours du M2 à Supélec.
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Cours de premier semestre Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.1 - Groupes de Lie compacts et leurs représentations

Enseignant : Tilmann Wurzbacher

Description du cours :
Les groupes de Lie compacts (leurs algèbres de Lie) et leurs représentations linéaires sont largement utilisées dans des mathématiques pures et appliquées. Le but de ce cours est d'introduire à la théorie de structure des groupes compacts, leurs algèbres de Lie, ainsi que de leurs représentations linéaires. Si possible, la classification de leurs représentations irréductibles sera aussi donnée.

  1. Groupes et algèbres de Lie et leurs représentations linéaires: notions de base et quelques exemples
  2. Autour du théorème de Peter-Weyl
  3. Structure des algèbres de Lie compactes et semi-simples
  4. Tores maximaux et le groupe de Weyl
  5. Représentations au plus haut poids
  6. Formules de Weyl

Prérequis :
Calcul différentiel et intégral en plusieurs variables (et -de préférence- aussi sur des variétés) et algèbre linéaire.

Bibliographie :
T. Bröcker et T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Springer, New York, 1995.
N. Bourbaki: Eléments de mathématique: Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 9. Groupes de Lie réels compacts, Masson, Paris, 1982.
J. Faraut: Analyse sur des groupes de Lie - une introduction, Calvage et Mounet, Paris, 2006.
J. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972.
A.W. Knapp: Lie groups beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 2002.
R. Mneimné et F. Testard: Groupes de Lie classiques, Hermann, Paris, 1986.
B. Simon: Representations of finite and compact groups, AMS, Providence RI, 1996.
V.S. Varadarajan: Lie groups, Lie algebras, and their representations, Springer, New York, 1984.
N. R. Wallach: Harmonic analysis on homogeneous spaces, Marcel Dekker, New York, 1973.

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Cours de premier semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.2 - Introduction aux techniques l2 en géométrie non commutative

Enseignant : Moulay-Tahar Benameur

Description du cours :
Il s'agit d'un cours d'introduction à quelques notions fondamentales en Géométrie différentielle et Riemannienne Non Commutative pour les revêtements Galoisiens. Nous présenterons notamment le théorème d'Atiyah dans le cas pair et la notion de d'invariant de Cheeger-Gromov dans le cas impair.
Voici un plan prévisionnel:

  1. Modules de Hilbert et opérateurs.
  2. Opérateurs réguliers dans les modules hilbertiens et calcul fonctionnel.
  3. Divers modules hilbertiens et divers opérateurs réguliers associés aux revêtements galoisiens.
  4. Théorie de l'indice l2 et théorème d'Atiyah. Quelques corollaires importants sur les traces sur les algèbres de groupes.
  5. Définition de l'invariant eta de type l2 dans le cas des revêtements galoisiens.
  6. Propriétés de l'invariant rho de Cheeger-Gromov.

Prérequis : Théorèmes classiques d'analyse fonctionnelle et quelques notions sur les variétés.

Bibliographie : Les références seront précisées ultérieurement.

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Cours de premier semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.4 - Analyse avancée

Enseignant : Raymond Mortini

Description du cours :
Vous voulez savoir comment on peut établir les formules suivantes:

$\displaystyle \frac{2\cdot 2 \cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6 \cdots}
{1\cdot 3 \cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdots }=\frac{\pi}{2},$

$\displaystyle \prod_{n=2}^\infty \left( 1-\frac{1}{n^4} \right)=\frac{1}{8\pi}
\left(e^\pi-e^{-\pi}\right),$

$\displaystyle \displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}\right)=\frac{1+\cosh(\pi \sqrt 3)}{2\pi^2}.$

Eh bien, dans ce cas on vous conseille vivement de vous inscrire au cours d'Analyse avancée en M2R-Agrégation. On présentera dans un premier chapitre la théorie des produits infinis qui vous permettera de résoudre ces problèmes. En particulier on abordera la question suivante: sachant qu'un polynôme $ P(z)=\sum_{n=0}^N a_n z^n$ se factorise en un produit $ e^c\prod_{n=1}^N (z-b_n)$ de facteurs linéaires, on se pose la question s'il existe une factorisation infinie analogue $ e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty (1-\frac{z}{b_n})$ pour les fonctions holomorphes transcendantes dans $ \mathbb{C}$. Puis on développera la théorie de factorisation pour les fonctions holomorphes et bornées dans le disque unité; le rôle des pôlynomes étant joué par les produits de Blaschke.

Dans la deuxième partie du cours on va étudier la structure de l'algèbre $ H(\mathbb{C})$ des fonctions entières: théorèmes de Helmer sur la structure des idéaux de type finies, études des idéaux premiers et maximaux, etc.

On va aborder aussi des problèmes d'interpolation dans $ H(\mathbb{C})$ et dans $ H^\infty(\mathbb{D})$. On démontrera en particulier le théorème classique de Carleson sur la structure des suites d'interpolation universelles. Les produits de Blaschke joueront un rôle fondamental. Cela vous permettra de comprendre un peu la théorie en analyse complexe développée par Lennart Carleson, prix d'Abel de 2006 (l'{é}quivalent du prix Nobel).

Les sujets traités donneront des informations supplémentaires utiles aux étudiants en Agrégation et contiennent une initiation à la recherche en ana\-lyse complexe pour les étudiants en M2R afin d'aborder une thèse dans ce domaine.

Prérequis :
Introduction à l'analyse complexe (L3).

Bibliographie :
Rudin, W: Real and complex analyis;
Duren, P.: Theory of Hp-spaces;
Chatterij: Cours d'Analyse 2;
Garnett, J.: Bounded analytic functions.

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Cours de premier semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.5 - Quelques méthodes de résolution pour les équations non-linéaires

Enseignant : R. Chill

Description du cours :
Beaucoup d'équations en mathématiques (appliquées ou pures) s'écrivent abstraitement de la forme

F(x) = 0        (1)
Des exemples sont des équations algébriques, des équations différentielles, les équations aux dérivées partielles, des équations en optimisation. La fonction F est dans ces cas une fonction linéaire ou non-linéaire entre deux espaces de Banach; en fait, après les fonctions linéaires, les polynômes font objet de vieux problèmes mathématiques. Les espaces de Banach étudiés sont souvent des espaces de fonctions comme les espaces des fonctions continues ou les espaces Lp.

Dans ce cours, on veut étudier plusieurs méthodes de résolution de l'équation (1) qui sont adaptées à plusieurs applications. Notre premier intérêt seront les équations aux dérivées partielles.

Parmi les méthodes connues on essayera d'étudier:

Chaque méthode sera illustrée par des exemples d'applications.

Prérequis : Analyse fonctionnelle. Eventuellement Analyse fonctionnelle appliquée, Cours d'équations aux dérivées partielles.

Bibliographie :
[1] H. Brézis, Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1992.
[2] J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
[3] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications. I, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1990.
[4] E. Zeidler, Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1995.

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Cours de premier semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.6 - Modèles mathématiques de la mécanique des fluides: théorie et méthodes numériques

Enseignant : Jean-Pierre Croisille

Description du cours :

La mécanique des fluides est l'un des domaines de la physique o\`u la modélisation mathématique à l'aide d'équations aux dérivées partielles joue un rôle essentiel, que ce soit sur les plans théoriques (problèmes d'existence/unicité, bifurcations, propagation d'ondes,...) ou numérique (aéronautique, climatologie, environnement,...).

Le but du cours est de donner une introduction à différents aspects théoriques et numériques de ces équations.

Prérequis : Le cours sera conçu pour être suivi par tout étudiant ayant suivi un cycle M1 de mathématiques.

Bibliographie :

[1] R. Leveque: Numerical methods for conservation laws (Birkhäuser, 1990)

[2] R. Temam: Navier-Stokes Equations (AMS Edition, 2001).

[3) A. Chorin: Vorticity and turbulence (Springer, 1994).

[4] C. Hirsch, Numerical computation of internal and external flows, Wiley.

[5] J-P. Croisille, J-C. Saut, Problèmes d'évolution (cours polycopié).

[6] R. Eymard, T. Gallouet, R.Herbin, The finite volume method. Handbook for Num. Anal., North-Holland, 2000, pp 715-1022.

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Cours de premier semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE SUP1 - Traitement statistique du signal (Supelec, Campus de Metz)

Enseignant : M. Barret

Description du cours :
Ce cours traite les sujets suivants: Représentation spectrale de signaux aléatoires, factorisation spectrale. Notions d'estimations, estimation en moyenne quadratique, principe d'orthogonalité, quelques éléments d'estimation non bayésienne. Filtrage linéaire statistique (filtrage Wiener) sans contrainte, avec contrainte linéaire, causal. Prédiction à un pas et passé fini ou infini. Représentation en treillis, algorithme de Levinson. Méthodes récursives dans le temps: moindres carrés récursifs, adaptatifs, filtrage de Kalman. Détection, théorie bayésienne de la détection, cas de p hypothèses, cas de 2 hypothèses, stratégie de Neyman Pearson, courbes opérationnelles de réception, critère de déflexion. Application à la détection d'un signal noyé dans un bruit, filtre adapté, cas d'un bruit gaussien.

Prérequis : pas de prérequis

Bibliographie :

[1] Hayes M.H., Statistical digital signal processing and modelling, John Wiley and Sons, New-York, 1996.

[2] B. Picinbono, Signaux aléatoires, tome 3, Dunod, 1993.

[3] H.L. Van Trees, Detection, estimation and modulation theory, John Wiley & Sons, Inc., New-York, 1968.

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Cours du deuxième semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

UE 9.3 - Algèbres d'opérateurs et géométrie non commutative

Enseignant : Jean-Louis Tu

Description du cours :
Le but de ce cours est d'introduire les bases nécessaires pour aborder des sujets de recherche récents en algèbres d'opérateurs (c'est-à-dire $C^*$-algèbres et algèbres de von Neumann) et en géométrie non commutative, qui est le domaine des mathématiques initié par Alain Connes consistant en l'application des techniques d'algèbres d'opérateurs à la résolution de problèmes provenant de la géométrie différentielle.

Plan du cours:

  1. C*-algèbres: spectre, C*-algèbres commutatives, théorème de Gelfand, calcul fonctionnel continu, représentations, construction GNS.
  2. C*-algèbres d'un groupe localement compact: C*-algèbre maximale et réduite, moyennabilité et nucléarité. \par\medskip
  3. Théorie générale des algèbres de von Neumann: type, facteurs.
  4. K-théorie: théorème de Serre-Swan, K-théorie des espaces localement compacts et des C*-algèbres, introduction au théorème d'Atiyah-Singer.

    Prérequis :
    Cours de base en analyse fonctionnelle.

    Bibliographie :
    J. Dixmier. Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars 1964.
    J. Dixmier: Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien (algèbres de von Neumann), Gauthier-Villars 1969.
    G. Pedersen. C*-algebras and their automorphism groups, Academic Press 1979.
    R. Kadison, J. Ringrose. Fundamentals of operator algebras, vol. I, II Academic Press 1983, 1986.
    M. Atiyah. K-theory, (W.A. Benjamin, New York, 1967).
    B. Blackadar. K-theory for operator algebras, MSRI Publications, Vol. 5, (Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
    N.E. Wegge-Olsen. K-Theory and C*-Algebras : A Friendly Approach. Oxford University Press (1993).
    A. Connes. Noncommutative geometry. Academic Press (1994).

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    Cours du deuxième semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

    UE 10.1 - Quelques aspects de la théorie des représentations des algèbres et des groupes de Lie

    Enseignant : Said Benayadi et Martin Olbrich

    Ce cours consiste en deux parties : la première est consacrée à la théorie des algèbres de Lie semisimples complexes et leurs représentations de dimension finie ; la deuxième à la théorie des représentations de dimension infinie des groupes de Lie semisimples.

    Description de la première partie du cours :
    La théorie des groupes et algèbres de Lie fait appel à la fois à l'algèbre, à l'analyse, et à la géométrie. Nous n'aborderons dans cette partie du cours que les aspects algébriques et quelques aspects géométriques de cette théorie. Les chapitres de ce cours sont:

    1. Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles.
    2. Structures des algèbres de Lie semi-simples réelles et complexes.
    3. Systèmes de racines et la classification des algèbres de Lie simples complexes.
    4. Représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes

    Prérequis :
    Connaissances de base en algèbre et en géom\'trie différentielle.

    Bibliographie :

    Description de la première partie du cours :
    La deuxième partie du cours traite la théorie des représentations de dimension infinie des groupes de Lie. Afin de maintenir le matériel de manière aussi non-technique que possible, nous nous concentrerons sur l'exemple relativement simple (mais important) de SL(2,R). Après une discussion des notions de base et des applications de la théorie, nous donnerons la descritpion et classification des représentations irréductibes admissibles du groupe SL(2,R). Puis s'il reste du temps, nous donnerons une brève perspective sur des thèmes actuelles de recherche de l'analyse harmonique sur les espaces (localement) symétriques.

    Prérequis :
    Quelques éléments d'analyse fonctionnelle (théorie des espaces de Banach), notions de base sur les groupes et les algèbres de Lie.

    Bibliographie :
    A.W. Knapp: Representation theory of semi-simple Lie groups.
    S. Lang: $SL_2(\Bbb R)$.
    N.R.Wallach: Real reductive groups I.

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    Cours de deuxième semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

    UE 10.3 - Contrôle non destructif. Semi groupes et stabilisation des EDP.

    Enseignants : Zakaria Belhachmi et Aïssa Guesmia

    Le cours se divise en deux parties distinctes.

    Description de la première partie du cours :
    La premiere partie est conscarée à la stabilisation d'équations aux dérivées partielles. Le plan de cette partie est le suivant:

    1. Rappeler quelques notions d'analyse fonctionnelle (distributions, espaces de Sobolev, formulations variationnelles, théorème de Lax-Milgram) et de présenter des applications (Dirichlet, Neumann, Stokes, élasticité) qui font la transition vers des cours plus spécialisés.
    2. Présenter la théorie des semi-groupes (linéaire et non linéaires, ainsi que sa généralisation au cas d'évolution) et de donner des applications aux problèmes d'existence et de régularité de solutions.
    3. Présenter quelques inégalités intégrales et traiter le problème de stabilisation de certains systèmes d'EDP (ondes, Petrovsky, elasticité, couplés,...) en utilisant la méthode des multiplicateurs.

    Prérequis :
    Les cours de Master 1 d'analyse fonctionnelle, d'EDP et de contrôle.

    Bibliographie :
    [1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1993.
    [2] J. Dieudonné, éléments d'analyse, fondements de l'analyse moderne, Gauthier - Villars, Paris, 1969.
    [3] A. Guesmia, Inégalités intégrales et applications à la stabilisation des systèmes distribués non dissipatifs, thèse d'HDR, Metz, 2006.
    [4] V. Komornik, Exact controllability and stabilization. The multiplier method, Masson-John Wiley, Paris, 1994.
    [5] J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte, perturbations et stabilisation de systèmes distribués, collection RMA, Masson, Paris, 1988.
    [6] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to PDE, Springer, New York, 1983.
    [7] P. A. Raviart, J. M. Thomas, Introduction à l'analyse numérique des EDP, Masson, Paris, 1992.

    Description de la première partie du cours :
    La deuxième partie s'intitule: Queqlues exemples de contrôle par le domaine et applications.

    L'objectif de cette partie est de faire un tour d'horizon de problemes et de methodes de contrôle par le domaine pour des équations aux dérivées partielles. En suivant un fil conducteur qui va de la recherche de formes optimales en mécanique des structures, au placements de capteurs (de scanner) pour la detection de tumeurs au cerveau, en passant par la detection de fissures ou de la corrosion dans des milieux inaccessibles, ... le cours introduira les idées principales développées en mathématique pour traiter de tels problèmes. Il s'agit moins de donner des outils-produits finis que de donner envie de faire de la recherche dans ce vaste domaine de mathématiques appliquées.

    Prérequis :
    Les cours de Master 1 d'analyse fonctionnelle appliquée.

    Bibliographie :
    [1] G. Allaire---Shape optimization by the homogenization method, Applied Mathematical sciences 146, Springer-Verlag, New York (2002).
    [2 M. Bendsoe, O. Sigmund---Topology optimization. Theory, methods and applications. Springer-Verlag, Berlin (2003).
    [3] A. Henrot, M. Pierre---Variation et optimisation de formes, Collection Mathématiques et Applications, vol. 48, Springer 2005.
    [4] H. Brezis--- Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1993.
    [5] D. Bucur, G. Buttazzo---Variational Methods in Shape Optimization Problems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Vol. 65 , Birkhäuser (2005).
    [6] J. Sokolowski, J.P Zolésio---Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analysis. Springer series in computational mathematics, 16, Springer-Verlag, Berlin (1992).

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    Cours de deuxième semestre du Master 2, Recherche (ex-DEA) - 2007/2008

    UE SUP2 - Méthodes et algorithmes de traitement numérique des signaux (Supélec, Campus de Metz)

    Enseignant : Patrick Turelle

    Description du cours :

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    Emploi du temps et calendriers 2007-2008

    Une réunion de pre-rentrée, avec la présentation des deux cours de mise à niveau, aura lieu le mercredi 12 septembre 2007 à 9h30 en Salle 122 du Bâtiment de Mathématiques (Bât. A, ISGMP, Ile du Salcy).
    Les cours de mise à niveau se déroulent du mercredi 12 septembre au matin du vendredi 21 septembre 2007.

    La réunion de rentrée de la deuxième année du Master Recherche de Mathématiques, avec la présentation des cours du premier et deuxième semestre (semestres S9 et S10), aura lieu le vendredi 21 septembre 2007 à 14h en Salle 122 du Bâtiment de Mathématiques (Bâtiment A, ISGMP, Ile du Saulcy).

    Le début des cours de premier semestre (S9) est fixé au lundi 24 septembre 2007.


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    Admission 2007-2008

    L'admission en deuxième année de la Specialité Recherche du Master Mathématiques de Metz, s'effectue obligatoirement par l'intermédiaire du site de Validation des Etudes Supérieures (VES) de l'Université P. Verlaine de Metz à l'adresse   http://ves.univ-metz.fr/  puis en cliquant sur VES.

    Le candidat se connecte, s'enregistre et renseigne les informations demandées puis envoie par courrier à l'adresse indiquée, les pièces demandées pour compléter sa demande.

    Le diplôme souhaité correspond aux données suivantes :
    Secteur d'études : sciences et technologies
    Sous secteur d'études : mathématiques, informatique, méchanique
    Cycle : Master
    Diplôme : M2- Mathématiques Fondamentales et Appliquées Recherche

    Les dossiers d'admission sont examinés par une commission d'admission composée des responsables de la formation. La commission se réunit au moins deux fois par an.
    Pour les admissions en 2007-2008, des réunions sont prévues le 6 juillet 2007 et le 7 septembre 2007. Pour accélérer les formalités liées à l'inscription, des dossiers parvenus avant d&ecute;but de juin peuvent être examinés exceptionnellement au cours de la réunion du jury M2R au cours de la première semaine de juin.

    Chaque candidat recevra par *par courrier une réponse* d'admission ou de refus.

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    Contacts

    Responsable de la Specialité Recherche du Master Mathématiques : Angela Pasquale
    Mél : pasquale@math.univ-metz.fr
     
    Secrétariat du Master Mathématiques :
    Lucie VOGEL
    Université Paul Verlaine - Metz
    UFR-MIM - LMAM
    Bâtiment A, Ile du Saulcy
    F-57045 Metz cedex 1
    FRANCE
     
    Tél : 03 87 54 72 95
    Fax : 03 87 54 72 72
    Mél : lvogel@math.univ-metz.fr
     
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