Description du cours :

Ce cours contient des généralités sur la théorie des équations différentielles non linéaires dans des espaces de Banach. A partir de la notion de semi-groupes de bonnes solutions (solutions obtenues par discrétisations implicites en temps), pour des équations différentielles gouvernées par des opérateurs accrétifs on obtiendra des inégalités intégrales d'usage constant dans la pratique, des théorèmes généraux de la théorie de la perturbation et des théorèmes (dont certains récents) sur la précompacité des trajectoires. Plusieurs exemples dans le domaine des équations aux dérivées partielles seront développés et des applications à la théorie du contr\^ole (stabilisation d'équations d'ondes) sont prévues.

Prérequis :
Il est prévu un chapitre pour les préliminaires concernant en particulier, l'intégrale de Bochner et l'analyse multivoque. Donc une bonne connaissance des notions enseignées en licence sera suffisante. Néanmoins, il est bien entendu souhaitable que l'étudiant soit déjà un peu familier de notions générales d'analyse fonctionnelle : distributions, espaces de Sobolev ...

Bibliographie :

1. Un cours polycopié sera mis à la disposition des étudiants sur ma page web. Une bibliographie assez détaillée y figure. Citons, à titre d'exemple,
2. J.M. Ball and M. Slemrod, Asymptotic Behaviour of Nonlinear Contraction Semigroups, \emph{Journal of functional Analysis} 32, 555-587, 1979.
3. J.M. Ball and M.Slemrod, Feedback Stabilization of Distributed Semilinear Control Systems, \emph{Applied Mathematics and Optimization} 5, 169-179, 1979.
4. H. Brezis, \emph{Op\'{e}rateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert,} North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1973.
5. H. Brezis, \emph{Analyse fonctionnelle, Théorie et applications} Masson, Paris, New-York,Barcelone, Milan, Mexico, Sao Paulo, 1987.
6. K. Deimling, \emph{Multivalued Differential Equations}, W. De Gruyter, Berlin 1992.
7. V. Lakshmikantham, S. Leela, \emph{Nonlinear differential equations in abstract spaces}, Pergamon 1981.
8. A. Pazy, \emph {Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations,} Springer-Verlag, 44, 1983.

Description du cours :
Le cours est une introduction à la théorie du contr\^ole des équations différentielles (ODE) et aux dérivées partielles (EDP). Le cas des ODE correspond à la dimension finie, celui des EDP à la dimension infinie.

En pratique, les ODE ou les EDP considérées modélisent l'évolution au cours du temps de l'état d'un système physique. Les domaines applicatifs sont variés et couvrent ceux de la physique, la mécanique, la géophysique, mais aussi la chimie quantique, la météorologie, l'environnement, la biologie, l'économie, le trafic routier pour les domaines d'expansion les plus récents dans les applications et bien d'autres.

La théorie du contr\^ole étudie les systèmes et le moyen d'agir sur eux au moyen d'une commande (ou contr\^ole). Ce domaine de recherche est un domaine de pointe en France et à l'étranger, riche en applications et à l'interface de plusieurs domaines de recherche en mathématique mais aussi d'autres domaines des sciences.

Chacune de ces questions que l'on peut formuler au niveau des applications, admet une formulation mathématique rigoureuse. La première partie du cours présentera les notions de contr\^olabilité et celle duale d'observabilité, et de stabilisation en dimension finie, ainsi que des exemples d'applications.

La seconde partie présentera ces notions en dimension infinie et notamment la méthode HUM de J.-L. Lions ainsi que des exemples d'applications. Le contr\^ole sur les modèles EDP peut soit \^etre actif sur une partie à l'intérieur du domaine spatial dans lequel le modèle est posé, soit sur une partie du bord. Dans ce cas, des conditions géométriques sont requises, celles quasi-optimales de l'optique géométrique de Bardos-Lebeau-Rauch ou celles des multiplicateurs, suivant les méthodes d'analyse mathématique employées : analyse microlocale ou multiplicateurs.

La troisième partie du cours portera plus particulièrement sur la reconstruction de données initiales à partir d'observations de l'état en lien avec les cours prévus au second semestre. On présentera notamment la méthode des observateurs.

La dernière partie du cours, sera dévolue à une initiation aux aspects numériques et aux techniques de discrétisation en contr\^ole.

Prérequis :
Analyse fonctionnelle et cours de base d'EDP conseillés.

Bibliographie :

1. Alabau-Boussouira, F. Une formule générale pour le taux de décroissance des systèmes dissipatifs non linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris Sér I Math 338, 35-40 (2004).
2. Alabau-Boussouira, F. Convexity and weighted integral inequalities for energy decay rates of nonlinear dissipative hyperbolic systems. Appl. Math. and Optimization 51, no. 1, 61-105 (2005).
3. Alabau-Boussouira, F. {\em A unified approach via convexity for optimal energy decay rates of finite and infinite dimensional vibrating damped systems with applications to semi-discretized vibrating damped systems}. Journal of Differential Equations, 248, 1473--1517 (2010).
4. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. {\em Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary}. SIAM J. Control Optimization 30, 1024--1065 (1992).
5. Coron, J.-M. Control and nonlinearity. Mathematical Surveys and Monographs, 136. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.
6. Komornik, V. Exact Controllability and Stabilization. The Multiplier Method. Collection RMA, vol. 36, Masson-John Wiley, Paris-Chicester, 1994.
7. Lions J.-L. Contrô labilité Exacte et Stabilisation de Systèmes Distribués I-II, (1988) Masson, Paris.
8. Liu, K. Locally distributed control and damping for the conservative systems. SIAM J. Control Optimization 35, 1574-1590 (1997).
9. Martinez, P. A new method to obtain decay rate estimates for dissipative systems with localized damping. Rev. Mat. Complut. 12, 251-283 (1999).
10. Zuazua, E. Exponential decay for the semilinear wave equation with locally distributed damping. Comm. in P.D.E. 15, 205-235 (1990).
11. Zuazua, E. Uniform stabilization of the wave equation by nonlinear feedbacks. SIAM J. Control Optimization 28, 265-268 (1989).

Description du cours :

• Rappels et compléments sur les distributions : existence de fonctions test, fonctions cut-off et partition de l'unité, distributions, support (resp. support singulier) d'une distribution, le cas particulier des distributions à support compact, solutions fondamentales et distributions sur les variétés.
• Convolution : convolution de fonctions, convolution de distributions, support et estimations L^p.
• Transformée de Fourier : transformées de Fourier dans S et S', transformée de Fourier dans L², théorème de Plancherel-Parseval, espaces H^s, méthode de la phase stationnaire et intégrales oscillantes.
• Analyse spectrale des singularités : front d'onde, front d'onde d'une équation aux dérivées partielles.
• Opérateurs pseudo-différentiels (OPD en abrégé) : symboles, opérateurs pseudo-différentiels sur S et S', composition d'OPD, actions des OPD sur les espaces de Sobolev, opérateurs elliptiques, OPD sur les variétés.

Prérequis :
Essentiellement l'analyse et l'analyse fonctionnelle de base de niveau L3, la théorie de la mesure et un minimum sur les espaces L^p.

Bibliographie :

1. Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, Interéditions/Editions du CNRS, Paris, 1991.
2. Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I, 2nd edition, Springer- Verlag, Berlin, 1990.

Description du cours :
Ce cours traite les sujets suivants: Représentation spectrale de signaux aléatoires, factorisation spectrale. Notions d'estimations, estimation en moyenne quadratique, principe d'orthogonalité, quelques éléments d'estimation non bayésienne. Filtrage linéaire statistique (filtrage Wiener) sans contrainte, avec contrainte linéaire, causal. Prédiction à un pas et passé fini ou infini. Représentation en treillis, algorithme de Levinson. Méthodes récursives dans le temps: moindres carrés récursifs, adaptatifs, filtrage de Kalman. Détection, théorie bayésienne de la détection, cas de p hypothèses, cas de 2 hypothèses, stratégie de Neyman Pearson, courbes opérationnelles de réception, critère de déflexion. Application à la détection d'un signal noyé dans un bruit, filtre adapté, cas d'un bruit gaussien.

Prérequis :
Cours élémentaires de probabilités, statistiques et algèbre linéaire. Des notions de base en signaux et systèmes (filtres linéaires, produit de convolution, transformées de Fourier, de Laplace, transformée en $z$).

Bibliographie :

1. Barret M., Technosup, Ellipses, 2009. ,
2. H.L. Van Trees, Detection, estimation and modulation theory, John Wiley & Sons, Inc., New-York, 1968.

Description du cours :

Prérequis :
Le cours M2-MFA 2 (Algèbres et Groupes de Lie) du S9.

Bibliographie :

1. J. Faraut, \textit{Analyse harmonique sur les espaces hyperboliques}. Topics in modern harmonic analysis, Vol. I, II (Turin/Milan, 1982), 445--473, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Rome, 1983.
2. J. Faraut, \textit{Analyse sur les groupes de Lie : Une introduction}, Calvage \& Monet, 2006.
3. S. Helgason, \textit{Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces}. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001
4. S. Helgason, \textit{Geometric analysis on symmetric spaces}. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 39. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008.
5. A.W. Knapp, \textit{Lie groups beyond an introduction}. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002

Description du cours :

• Connexions sur les fibrés vectoriels et caractère de Chern.
• L'indice de Fredholm comme couplage avec la cohomologie cyclique.
• Exemple de l'opérateur de Dirac généralisé.
• Précis sur les modules hilbertiens.
• Opérateurs réguliers sur les modules hilbertiens.
• Familles et revètements.
• Définition des indices l² en terme de traces appropriées.

Prérequis :
Théorèmes classiques d'analyse fonctionnelle de niveau M1.
Des connaissances en géométrie différentielle classique de niveau M1 sont souhaitables.

Bibliographie :

1. Benameur M.-T. and Piazza P., Index, eta and rho invariants on foliated bundles, Asterisque 327, 2010, 199-284.
   
2. Connes, A., Noncommutative geometry. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994.
   
3. Dixmier J., Les C^*-algèbres et leurs représentations. Les Grands Classiques Gauthier-Villars. Editions Jacques Gabay, Paris, 1996.

Description du cours :

• Algèbre enveloppante, théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, élément de Casimir.
• Modules de Verma, représentations de plus hauts poids.
• Espaces homogènes des groupes de Lie, espaces symétriques, espaces réductifs.
• Fibrés homogènes sur les espaces homogènes, opérateurs différentiels invariants.
• Opéérateurs de Dirac cubiques tordus sur les espaces homogènes.
• Réalisation géométrique de représentations d'un groupe de Lie réel semisimple.
• (Introduction à la cohomologie de Dirac, si le temps le permet.)

Prérequis :
Cours du premier semestre ; M2-MFA 2: Algebres et Groupes de Lie. et M2-MFA-3: Géométrie et analyse sur des variétés

Bibliographie :

1. J.-S. Huang and P. Pandzic, {\it Dirac operators in representation theory.}\\ Mathematics: Theory and Applications, Birkh\" auser 2006. \vspace*{0.1cm}\\
2. A. W. Knapp, {\it Representation Theory of semisimple Lie groups: an overview based on examples.} Princeton University Press 1986. \vspace*{0.1cm}\\
3. A. W. Knapp, {\it Lie groups: Beyond an introduction.} Progress in Mathematics 2002, Birkh\" auser. \vspace*{0.1cm}\\
4. S. Mehdi and R. Parthasarathy, {\it Representation theoretic harmonic spinors for coherent families.} INSA Platinum Jubilee Special Issue, Indian J. Pure Appl. Math. {\bf 41} (2010). \vspace*{0.1cm}\\
5. S. Mehdi and R. Zierau, {\it Principal series representations and harmonic spinors.} Advances in Mathematics {\bf 199} (2006).

Description du cours :
Le but de ce cours est de fournir une introduction à quelques techniques parmi les plus couramment utilisées en analyse mathématique d'images par des équations aux dérivées partielles. On insistera en particulier sur les liens avec des problèmes de minimisation, ou de manière plus générale avec le calcul des variations.
On étudiera

• les questions mathématiques soulevées par la résolution des problèmes de traitement d'images
• quelques méthodes numériques utilisées pour le calcul des solutions de ces problèmes

Prérequis :

Bibliographie :

1. Gilles Aubert, Pierre Kornprobst : Mathematical Problems in Image Processing, Applied Mathematical sciences, 147, Springer
2. Tony F. Chan and Jianhong (Jackie) Shen : Image processing and analysis: variational, PDE, Wavelet, and Stochastic methods, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Philadelphia, PA. 2005.

Description du cours :
Beaucoup de modèles de propagation d'ondes donnent lieu à des équations d'évolution de la forme $$ u_{tt} + u_t - \Delta u + f(u) = 0 \quad \text{dans } [0,T]\times\Omega \eqno{(1)} $$ ou similaire. Cette équation traduit la loi de Newton sur l'équilibre des forces, $u$ étant le déplacement de l'onde, $u_t$ la vitesse, et $u_{tt}$ l'accelération. Le terme $u_t$ dans l'équation représente un amortissement due à un frottement, alors que $-\Delta u + f(u)$ est une force intérieure. Bien s\^ur, ces équations sont munies de conditions limites et conditions initiales. En nous basant sur la théorie dévéloppée au semestre S9, nous allons étudier l'existence de solutions et leur comportement qualitatif. Nous présentons des méthodes adaptées à ces problèmes non linéaires pour pouvoir démontrer des réysultats de stabilisation ou de non-stabilisation.

Prérequis :
Analyse fonctionnelle, Equations aux dérivées partielles, ou un des trois cours de Mathématiques Appliquées du S9.

Bibliographie :

1. H. Brézis, Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1992.
2. J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
3. E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications. I, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1990.
4. E. Zeidler, Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1995.

Description du cours :
La méthode des différences finies est historiquement la première à avoir été développée pour effectuer des approximations de problèmes d'équations aux dérivées partielles. Elle conna\^{\i}t actuellement un regain d'intér\^et très net due en partie à la possibilité de traitement de géométries irrégulières par des méthodes telles que celle des frontières immergées, (IIM). Très utilisée dans certaines applications physiques que ce soit sur maillage cartésien ou curviligne, elle est restée en fait peu etudiée sur le plan théorique, en comparaison avec la méthodes deséléments finis. Ce cours propose une introduction au sujet sur les plans théoriques et appliqués.

Prérequis :
Le cours ne comporte pas de prérequis. Cependant, avoir suivi un cours d'introduction aux équations aux dérivées partielles. peut \^etre un plus. De m\^eme, une expérience de programmation en matlab peut permettre d'accéder plus rapidement à des résultats numériques intéressants.

Bibliographie :

1. M. Ben-Artzi, J-P. Croisille, D. Fishelov: Navier-Stokes equations in planar domains, World Scientific, 2010.
2. J-P. Croisille, J-C. Saut: Problèmes d'évolution (cours polycopié).
3. C. Hirsch: Numerical computation of internal and external flows, Wiley, tomes 1 et 2.
4. R. Leveque: Numerical methods for conservation laws (Birkha\"user, 1990)
5. J. Strikwerda: Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Wadsworth \& Brooks/Cole, 1989.

Description du cours :

1. Morphologie mathématique;
2. Apprentissage statistique;
3. Modélisation, analyse spectrale et gestion de l'incertain;
4. Représentations parcimonieuses;

Morphologie mathématique

• Filtrage morphologique: concepts fondamentaux, opérations élémentaires, filtres morphologiques élémentaires, squelettes morphologiques.
• Théorie du \textit{scale-space\/}: les axiomes de Witkin et Koenderink, l'équation de la chaleur, l'équation de diffusion anisotropique, une équation de diffusion non linéaire, analyse granulométrique, \textit{scale-space\/} morphologique.
• Segmentation d'image: l'approche variationnelle, l'approche connective, 3 exemples (la fonctionnelle de Mumford et Shah, le \textit{watershed\/} et le \textit{watersnake\/}).
• Exemples d'applications résolues en télédétection, imagerie médicale, analyse de séquences d'images de mousses alimentaires,...

  Apprentissage statistique

• Objectif du cours : introduction théorique et pragmatique à l'apprentissage statistique, autrement dit aux méthodes permettant à la machine d'apprendre un modèle à partir de données, et plus généralement à la théorie de l'estimation. L'objectif de ce cours est de présenter l'apprentissage statistique formellement et pratiquement, et de montrer que ce paradigme unifie une grande partie des domaines de l'apprentissage automatique---\textit{machine learning\/}---et (dans une moindre mesure) du traitement du signal.
• Programme détaillé (très provisoire) : introduction de la théorie de l'estimation (paramétrique, voire non-paramétrique); minimisation de risque, minimisation de risque empirique; propriétés théoriques (consistence de l'estimateur, bornes sur les taux de convergence et capacité à la généralisation); liens avec l'apprentissage automatique et le traitement du signal; risque et régularisation; maximum de vraisemblance et inférence bayésienne.
• Références : Vladimir N. Vapnick, \textit{The Nature of Statistical Learning}, Springer, 2000.

  Modélisation, analyse spectrale et gestion de l'incertain

• Analyse spectrale non paramétrique (périodogramme et ses dérivés), analyse spectrale paramétrique (modèle auto-régressif, modèle auto-régressif à moyenne ajustée, maximum d'entropie, méthode de Capon, décomposition harmonique de Pisarenko, méthode de Prony).
• Vision Bayésienne des Probabilités: apprentissage bayésien, classification bayésienne et l'algorithme de maximisation de l'espérance.
• Réseaux Bayésiens et Graphes de Décision: méthodes d'inférence statistique, techniques d'apprentissage de réseaux (paramétrique et topologique); applications à la prise de décision, à la fusion de données, au contrôle optimal et à la modélisation comportementale.
• Modèles Probabilistes Temporels: algorithmes d'apprentissage et de résolution (algorithmes de Viterbi, Baum-Welch), modèles de Markov cachés; applications à la reconnaissance de gestes, de caractères manuscrits ou de locuteur; filtrage baysésien et l'application particulière du filtre de Kalman.
• Processus de Décision de Markov: les processus de décision de Markov observables (MDP : \textit{Markov Decision Process\/}) et partiellement observables (POMDP : \textit{Partially Observable MDP\/}); méthodes de résolution du problème d'apprentissage par renforcement dans le cas des MDP et POMDP; applications à la robotique et à l'optimisation de stratégie d'interaction homme-machine.
• Bibliographie:
  1. G. Fleury, \textit{Analyse spectrale - méthodes non paramétriques et paramétriques}, Ellipses, 2001.
  2. J. Pearl \textit{Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems}, Morgan Kaufman, 1988.
  3. F.V.Jensen \textit{Bayesian Networks and Decision Graphs}, Springer-Verlag, 2000.
  4. K.B.Korb, A.E.Nicholson \textit{Bayesian Artificial Intelligence}, Chapman \& Hall/CRC, 2004.
  5. L.Rabinern, B.-H.Juang \textit{Fundamentals of Speech Recognition}, Prentice Hall SP Series, 1993.
  6. R.J.Elliott \textit{et al}.\ \textit{Hidden Markov Models : Estimation and Control}, Springer, 1997.
  7. R.S.Sutton, A.G.Barto \textit{Reinforcement Learning. An Introduction}, Cambridge, MA: MIT Press, 1998.
  8. O.Sigaud, O.Buffet \textit{Processus Décisionnels de Markov en Intelligence Artificielle - Tome~1 : Principes Généraux et Applications}, Lavoisier, 2008.

  Représentations parcimonieuses

• Thèmes: techniques et \textit{a priori\/} pour l'analyse exploratoire de données, la sélection d'attributs pertinents, la réduction de dimension, la compression de données et la séparation de sources.
• Outils : transformées temps-fréquence/échelle---ondelettes, bancs de filtres---décompositions atomiques---bases, trames, dictionnaires---analyse en composantes principales, indépendantes, variables latentes.

Prérequis :
Ils dépendent des cours suivis.

Description du mini-projet

1. Lire attentivement le ou les articles fournis, les critiquer, refaire les calculs puis en faire une courte (quelques pages) synthèse par écrit en faisant apparaître le résultat essentiel et l'algorithme proposé (ou la méthode à programmer).
2. Programmer l'algorithme fourni (le cas échéant celui qui vous paraît le mieux approprié lorsque l'article en décrit plusieurs) en utilisant le logiciel Matlab. Tester et critiquer, sur des exemples simples, l'algorithme et les résultats de l'article.

La réunion de rentrée du parcours Mathématiques Fondamentales et Appliquées de la deuxième année du Master de Mathématiques, avec la présentation des cours du premier et deuxième semestre (semestres S9 et S10), aura lieu :
le jeudi 16 septembre 2010 à 14h en Salle 122 du Bâtiment de Mathématiques (Bâtiment A, ISGMP, Ile du Saulcy). A la fin de la réunion est prevu un pot d'acceuil : 14h45, salle des réunions de l'UFR MIM.

Le début des cours de premier semestre (S9) est fixé au vendredi 17 septembre 2010. Les cours du premier semestre (S9) ont lieu de la moitie de septembre au début de janvier ; les cours du deuxieme semestre (S10) de la fin de janvier à la fin de mars.
Les soutenances des mémoires seront fixées en juin, juillet et début septembre.

L'admission en deuxième année du Master Mathématiques de Metz, s'effectue obligatoirement par l'intermédiaire du site de Validation des Etudes Supérieures (VES) de l'Université P. Verlaine de Metz à l'adresse   http://ves.univ-metz.fr/  puis en cliquant sur VES.

Le candidat se connecte, s'enregistre et renseigne les informations demandées puis envoie par courrier à l'adresse indiquée, les pièces demandées pour compléter sa demande.

Le diplôme souhaité correspond aux données suivantes :
Secteur d'études : mathématiques, informatique, mécanique
Sous-secteur d'études : toutes formations (sauf franco-allemandes)
Cycle : master
Diplôme : M2-Mathématiques

Les dossiers d'admission sont examinés par une commission d'admission composée des responsables de la formation. La commission se réunit au moins deux fois par an. Pour les admissions en 2010-2011, des réunions sont prévues le 1er juillet 2010 et le 10 septembre 2010.
La date limite pour l'envoi des dossiers qui seront examinés le 1er juillet est le 29 juin 2010.

Chaque candidat recevra *par courrier une réponse* d'admission ou de refus.

Pour les etudiants étrangers resortissants de certain pays, une procédure via Campus France est obligatoire pour obtenir l'inscription. Voir http://www.univ-metz.fr/M-diath-que/UPV-M/Services-communs/SIOU/inscriptions/Inscriptions-en-M2 et http://www.campusfrance.org/fr/a-etudier/etudes04-2.htm
Attention aux dates limites pour l'inscription à Campus France.